因式分解的方法与技巧

因式分解应具有四种意识一、优先意识按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识例 1．分解因式：解： 二、换元意识通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的例 2．分解因式：解： 三、完整意识依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止例 3．分解因式：解：四、应用意识例 4．生产一批高为 200 mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（）mm，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（取 3.14）？解： 因式分解中的数学思想众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，假如能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明：一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.例 1 把多项式(x2－1)2+6(1－x2)+9 分解因式. 分析 把(x2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的解二、类比思想类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比.例 2 分解因式：（1）x3y－xy3；（2）abx2－2abxy+aby 2.分析（1）对比平方差公式可先提取 xy 后，（2）对比完全平方公式可先提取 ab，.解：（1）（2）三、转化思想转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行.例 3 把多项式 6x(x－y)2＋3(y－x)3分解因式.分析 考虑(y－x)3＝－(x－y)3则多项式转化为 6x(x－y)2＋3(y－x)3，因此公因式是 3(x－y)2.解：例 4 把多项式 x4+x2y2+y4分解因式.分析 从表面上看此题不能直接分解因式，但认真观察发现若 x2y2转化成 2x2y2即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式.解：四、换元思想所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式.例 5 把多项式(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy－1)分解因式.分析 这个多项式形式上比较复杂，但考虑 x+y 与 xy 重复出现，利用这一特点，可以这两个因式通过换元后再分解因式.解：因式分解的方法与技巧因式分解是初中代数中一种重要的恒...