动力学和能量观点的综合应用知识梳理考向一 多种运动的组合问题角度 1 直线运动与圆周运动的组合 (2016·全国卷Ⅱ，25)轻质弹簧原长为 2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 5m 的物体由静止释放，当弹 簧被压缩到最短时，弹簧长度为 l。现将该弹簧水平放置，一端固定在 A 点，另一端与物块 P 接触但不连接。AB 是长度为 5l 的水平轨道，B 端与半径为 l 的光滑半圆轨道 BCD 相切，半圆的直径 BD 竖直，如图所示。物块 P 与 AB 间的动摩擦因数 μ＝0.5。用外力推动物块 P，将弹簧压缩至长度 l，然后放开 P 开始沿轨道运动重力加速度大小为 g。图 1(1)若 P 的质量为 m，求 P 到达 B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到 AB 上的位置与 B 点之间的距离；(2)若 P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求 P 的质量的取值范围。解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至 l 时，质量为 5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知，弹簧长度为 l 时的弹性势能为Ep＝5mgl①设 P 到达 B 点时的速度大小为 vB，由能量守恒定律得Ep＝mv＋μmg(5l－l)②联立①②式，并代入题给数据得vB＝③若 P 能沿圆轨道运动到 D 点，其到达 D 点时的向心力不能小于重力，即 P 此时的速度大小 v 应满足－mg≥0④设 P 滑到 D 点时的速度为 vD，由机械能守恒定律得mv＝mv＋mg·2l⑤联立③⑤式得 vD＝⑥vD满足④式要求，故 P 能运动到 D 点，并从 D 点以速度 vD水平射出。设 P 落回到轨道AB 所需的时间为 t，由运动学公式得2l＝gt2⑦P 落回到 AB 上的位置与 B 点之间的距离为 s＝vDt⑧联立⑥⑦⑧式得s＝2l⑨(2)设 P 的质量为 M，为使 P 能滑上圆轨道，它到达 B 点时的速度不能小于零。由①②式可知5mgl>μMg·4l⑩要使 P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点 C。由机械能守恒定律有MvB′2≤Mgl⑪Ep＝MvB′2＋μMg·4l⑫联立①⑩⑪⑫式得m≤M
