有限维线性空间上线性变换得值域与核数学系 04 数本 41040114 ２ 郭文静摘要: 定义在有限维空间Ｖ上得线性变换得值域与核都就是 V 得子空间、本文主要讨论了这两个子空间与大空间得关系。本文还进一步讨论了幂等变换得值域与核得有关性质。简明介绍了用线性变换得值域与核来刻划可逆变换、关键词:值域、核、直与、幂等变换。正文: 定义 1:设就是线性空间 V 上得一个线性变换,得全体象得集合称为得值域,用或表示,所有被变成零得向量得集合称为核,用或表示、且记为: 。不难证明,与都就是得不变子空间。一:线性空间与得关系结论１: 得秩＋得零度＝。证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。应当指出,虽然子空间与得维数之与为,但就是, 不一定就是整个子空间,那么当满足什么条件时?若成立,必须满足什么条件呢?结论 2 就回答了这个问题。结论 2: 为维线性空间 V 上得线性变换,则 秩秩证明:设就是 V 得一组基,而这里为得一组基.于就是, 已知 秩秩 则 则 为得基。 则 且从而即故 即为直与。又因为所以 ;设 ,任取 ,而 于就是,故显然, 所以,得,秩秩、特别得,假如,那么结论 3: 数域Ｐ上得维线性空间 V 得任一子空间 W 必为某一线性变换得核。证明:设Ｖ得任一子空间 W 得一组基为 则它可扩充为Ｖ得一组基 . 作线性变换下面验证, 则否则 故 又 故 与矛盾 结论４: 设就是维线性空间 V 得两个子空间,且其维数之与为,则存在 V 线性变换,使证明: 设则在中任取一组基再在中取一组基 并将其扩充为 V 得基用表示以下条件所确定得线性变换:首先,显然=其次,由于就是得基,,另一方面,设,则由由线性无关,得 知,故注: 对于非线性空间Ｖ得线性变换,有子空间与,反过来,若有两个子空间与,有,与能否成为某个线性变换得值域与核,本例题就回答了这个问题. 且易验证,秩秩,故。结论５: 设 A 就是维线性空间Ｖ得一个线性变换,证明:若得维数为,则必有一个维得子空间 W,使证明: 因得维数为,故可设为得一组基,于就是存在 显然,就是线性无关,令 则 W 就是 V 得一个维子空间。下证 ,设, 即 因无关,故因,得因此、注:虽有,但未必有,本例提出却有与维数相同得子空间 W,使用使成立。此结论就是显然得。由《高等代数》北大数学系几何与代数教研室代数小组编第2 版第 268 页定理１０,U 就是线性空间 V 得一个子空间,那么一定存在一个子空间Ｗ使。本题也可设得一组基,将其扩充为 ...
