高中数学 1.2.1 任意角的三角函数互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.任意角的三角函数的定义如右图，已知任意角 α，以角 α 的顶点 O 为坐标原点，以角 α 的始边的方向作为 x 轴建立直角坐标系 xOy，并且使∠xOy=90°，在角 α 的终边上取点 A，使 OA=1，设 A 的坐标为（l,m），再任取一点 P(x,y)，设 OP=r(r≠0)，由相似三角形对应边成比例得.因为 A、P 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得=l,=m,.不论点 P 在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于 α 的大小，与点 P 在 α 终边上位置无关.即当点 P 在 α 的终边上变化时，这三个比值始终等于定值，因此定义：叫做角 α 的余弦，记作 cosα,即 cosα=,叫做角 α 的正弦，记作 sinα,即sinα=.叫做角 α 的正切，记作 tanα,即 tanα=,依照上述定义，对于每一个确定的角 α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个法则都是以α 为自变量的函数，分别叫做角 α 的余弦函数、正弦函数和正切函数.以下三个函数也经常用到角 α 的正割：secα=;角 α 的余割：cscα=;角 α 的余切：cotα=;即 secα,cscα,cotα 分别为 cosα,sinα,tanα 的倒数.2.三角函数的定义三角函数定义定义域sinαRcosαRtanα{α|α≠kπ+,k∈Z}secα{α|α≠kπ+,k∈Z}cscα{α|α≠kπ,k∈Z}cotα{α|α≠kπ,k∈Z}确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时，比值无意义这一关键，即只有当角的终边在坐标轴上时，点 P 的坐标中必有一个为 0.具体地讲，当 α=kπ(k∈Z)时，终边上的点的纵坐标 y 为零，以 y 为分母的比值，如余切 cotα=xy 和余割 cscα=无意义，即这个三角函数的定义域为{α|α≠kπ,k∈Z};同理，可得正切 tanα=与正割 secα=的定义域为{α|α≠kπ+,k∈Z}.3.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号.sinα=,其中 r＞0,于是 sinα 的符号与 y 的符号相同，即当 α 是第一、二象限的角时，sinα＞0;当 α 是第三、四角限角时，sinα＜0.cosα=,其中 r＞0,于是 cosα 的符号与 x 的符号相同，即当 α 是第一、四象限角时，cosα＞0;当 α 是第二、三象限角时，cosα＜0.tanα=,当 x 与 y 同号时，它们的比值为正，当 x 与 y 异号时，它们的比值为负，即当 α是第一、三象限角时，tanα＞...
