第二章 三角函数§1.1 正弦定理【学习目标】（1）通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；（2）能够利用向量方法证明正弦定理，并运用正弦定理解决两类解三角形的基本问题，以求三角形的面积和外接圆的半径；（3）会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题.【学习重点】正弦定理的发现、证明及其基本应用.【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时对解的个数的判定.【知识衔接】1.对的边，则2.正弦定理：在三角形中，________________________________________________________即=_______( )3.一般的，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____.4.正弦定理的证明方法有哪些?【学习过程】探索 1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在中，设，则 sinA=_______, sinB=________, sinC=_______即：探索 2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索 3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证得结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论也成立？证 法 1 若为 锐 角 （ 图 （ 1 ） ） ， 过 点作于，此时有，，所以，即．同理可得，所以．若为 钝 角 （ 图 （ 2 ） ） ， 过 点作，交的延长线于，此时也有，且．同样可得．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高、、，则，，．所以，每项同除以即得：．探索 4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中 ， 有． 设为最大角，过点作于（ 图 （ 3 ） ） ， 于 是． 设与的夹角为，则， 其 中 ， 当为 锐 角 或 直 角 时 ，； 当为 钝 角 时 ，． 故 可 得， 即．同理可得．因此得证。例题讲评：题型 1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例 1 已知在题型 2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例 2 在例 3 【巩固练习】1.在中，,则此三角形的最大边长为_____3.已知，则.4..5.【作业布置】1．.【反思总结】1．用三种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法2．理论上正弦定理可解决两类问题： （1）_____________________________________________________（2）_____________________________________________________．
