点差法公式在椭圆中点弦问题中得妙用定理 在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于 M、N 两点,点就是弦Ｍ N 得中点,弦 M Ｎ所在得直线得斜率为,则。 证明:设 M、N 两点得坐标分别为、,则有,得又同理可证,在椭圆(>〉０)中,若直线与椭圆相交于 M、N 两点,点就是弦 M Ｎ得中点,弦Ｍ N 所在得直线得斜率为,则、典题妙解例 1 (04 辽宁)设椭圆方程为,过点得直线交椭圆于点Ａ、Ｂ,Ｏ为坐标原点,点 P 满足,点 N 得坐标为。当绕点 M 旋转时,求:(1)动点 P 得轨迹方程;(２)得最大值与最小值、解:(１)设动点Ｐ得坐标为、由平行四边形法则可知:点 P 就是弦 AB 得中点 、焦点在ｙ上, 假设直线得斜率存在。由得:整理,得:当直线得斜率不存在时,弦 AB 得中点 P 为坐标原点,也满足方程。所求得轨迹方程为(2)配方,得:当时,;当时,例 2 (07 年海南、宁夏)在直角坐标系中,经过点且斜率为得直线与椭圆有两个不同得交点 P 与Ｑ。(1)求得取值范围;(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴得交点分别为 A、B,就是否存在常数,使得向量与共线？假如存在,求得取值范围;假如不存在,请说明理由、解:(１)直线得方程为由得:直线与椭圆有两个不同得交点,〉０、解之得:〈或＞、得取值范围就是、(2)在椭圆中,焦点在轴上,,设弦 PQ 得中点为,则由平行四边形法则可知:与共线,与共线、,从而由得:,由(1)可知时,直线与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意得常数。例 3(09 年四川)已知椭圆(＞＞0)得左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为、(Ⅰ) 求椭圆得标准方程;(Ⅱ) 过点得直线与该椭圆相交于Ｍ、N 两点,且,求直线得方程。解:(Ⅰ)根据题意,得、所求得椭圆方程为、(Ⅱ)椭圆得焦点为、、 设直线被椭圆所截得弦Ｍ N 得中点为、由平行四边形法则知:、由得:。………………………………………………………………………①若直线得斜率不存在,则轴,这时点Ｐ与重合,,与题设相矛盾,故直线得斜率存在、由得: ………………………………………………………………………②② 代入①,得整理,得:、解之得:,或。由②可知,不合题意。,从而。所求得直线方程为,或。例４ (０ 9 全国Ⅱ)已知椭圆(＞〉0)得离心率为,过右焦点 F 得直线与 C 相交于 A、B 两点、 当得斜率为１时,坐标原点 O 到得距离为。(1)求得值;(2)C 上就是否存在点Ｐ,使得当绕 F 转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有点 P 得坐标与得方程;若不存在,说明理由、解:(1)椭圆得右焦点为,直...
