高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆得方程典型例题类型一:圆得方程例 1 求过两点、且圆心在直线上得圆得标准方程并推断点与圆得关系.分析:欲求圆得标准方程,需求出圆心坐标得圆得半径得大小,而要推断点与圆得位置关系,只须瞧点与圆心得距离与圆得半径得大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.解法一:(待定系数法)设圆得标准方程为. 圆心在上,故.∴圆得方程为.又 该圆过、两点.∴解之得:,.所以所求圆得方程为.解法二:(直接求出圆心坐标与半径)因为圆过、两点,所以圆心必在线段得垂直平分线上,又因为,故得斜率为 1,又得中点为,故得垂直平分线得方程为:即.又知圆心在直线上,故圆心坐标为∴半径.故所求圆得方程为.又点到圆心得距离为.∴点在圆外.说明:本题利用两种方法求解了圆得方程,都围绕着求圆得圆心与半径这两个关键得量,然后根据圆心与定点之间得距离与半径得大小关系来判定点与圆得位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆得位置关系呢？例 2 求半径为 4,与圆相切,且与直线相切得圆得方程.分析:根据问题得特征,宜用圆得标准方程求解.解:则题意,设所求圆得方程为圆.圆与直线相切,且半径为 4,则圆心得坐标为或.又已知圆得圆心得坐标为,半径为 3.若两圆相切,则或.(1)当时,,或(无解),故可得.∴所求圆方程为,或.(2)当时,,或(无解),故.∴所求圆得方程为,或.说明:对本题,易发生以下误解:由题意,所求圆与直线相切且半径为 4,则圆心坐标为,且方程形如.又圆,即,其圆心为,半径为 3.若两圆相切,则.故,解之得.所以欲求圆得方程为,或.上述误解只考虑了圆心在直线上方得情形,而疏漏了圆心在直线下方得情形.另外,误解中没有考虑两圆内切得情况.也就是不全面得.例 3 求经过点,且与直线与都相切得圆得方程.分析:欲确定圆得方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们得交角得平分线上.解: 圆与直线与相切,∴圆心在这两条直线得交角平分线上,又圆心到两直线与得距离相等.∴.∴两直线交角得平分线方程就是或.又 圆过点,∴圆心只能在直线上.设圆心 到直线得距离等于,∴.化简整理得.解得:或∴圆心就是,半径为或圆心就是,半径为.∴所求圆得方程为或.说明:本题解决得关键就是分析得到圆心在已知两直线得交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆得方程,这就是过定点且与两已知直线相切得圆得方程得常规求法.例 4、 设圆满足:(1)截轴所得弦长为 2;(2)被轴分...