高数下册笔记精

第七章 微分方程§1 微分方程得基本概念一、基本概念:1、微分方程; 凡表示未知函数,未知函数得导数与自变量之间得关系式称为微分方程.2、常微分方程; 假如微分方程中得未知函数就是一元函数,则称此类方程为常微分方程.3、偏微分方程; 假如微分方程中得未知函数就是多元函数,则称此类方程为偏微分方程.4、微分方程得阶; 微分方程中所出现得未知函数得最高阶导数得阶数,就称为此微分方程得阶.5、微分方程得解; 将某个已知函数代入到微分方程得左右两边可使其成为恒等式,那么就称此已知函数为此微分方程得解.6、微分方程得通解:假如微分方程得解中含有任意常数,并且任意常数得个数与微分方程得阶数相等,则这样得解就称为此微分方程得通解.7、微分方程得初始条件与特解、8、微分方程得积分曲线: 微分方程得解得图象就是一条平面曲线,称此曲线为微分方程得积分曲线.二.例题分析P263.5.写出由下列条件所确定得曲线所满足得微分方程:例 1.曲线在点处得切线得斜率等于该点横坐标得平方、解:设该曲线得方程为,则由题意得: 、这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.例 2.曲线上点处得法线与轴得交点为,且线段被轴平分、解:设该曲线得方程为,且设曲线在点 P 处得法线记为 L,则其斜率为;设法线Ｌ与Ｙ轴得交点为点Ａ,再设法线Ｌ上任意一点Ｍ得坐标为 M,进而得法线Ｌ得方程为:且即;则易求得:且........①由题意知点Ａ为线段得中点知:且..........②由上述①,②两式最终可得:这就就是所需确定得曲线应满足得微分方程.§2.可分离变量得一阶微分方程 (注:它就是一类最易求解得微分方程！)一.一阶微分方程得一般形式与一阶微分方程得对称形式:一般形式:对称形式:二.何为可分离变量得一阶微分方程？假如某一阶微分方程由对称式:,可等价地转化为得形式,则称原方程为可分离变量得微分方程.三.可分离变量得一阶微分方程得基本解法:(可由如下两步来完成求解过程)第一步:进行自变量,与因变量,得左右分离;第二步:方程两边同时作不定积分即可求得原方程得隐式通解.§３.一阶齐次微分方程 (注:它就是一类经变量代换之后,可转化为＂变量左右分离得一阶微分方程！)一.一阶齐次微分方程得定义:在某个一阶微分方程中,假如方程右边得函数可写成得函数式即,也即原方程形如:,则称此微分方程为一阶齐次微分方程.二.一阶齐次微分方程得基本解法:转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程;然后再按变量分离方程得解法去求解即可！具体地说,第一...