安徽大学 2025 — 2025 学年第 1 学期《 数理方法 》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间 120 分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号 题 号一二三四总分得 分一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1. 复数的共轭复数是： ，辐角主值是： 。2. 计算复指数函数 。3. 设为逆时针方向沿圆周的闭合曲线，则回路积分___________。4. 幂级数的收敛半径 。5. 将函数以为中心展开为罗朗级数： 。6. 函数的傅里叶变换为： 。7. 求拉普拉斯变换： ； 。8. 对于本征值问题其本征值为： ，本征函数为： 。9. 施图姆－刘维尔(S－L)型方程：其中：为核函数，为权函数，为分离变量过程中引入的参数。若取，，，，，, 则上式可以转化为阶贝塞尔方程。试写出阶贝塞尔方程的标准形式： 。10. 已知勒让德多项式：，试将函数展开为傅里叶—勒让德级数： 。二、简答题（第一题 6 分，第二题 10 分，共 16 分）1. 已知含两个自变量和的二阶线性偏微分方程的一般形式为：得分得 分试简述如何将其划分为三种类型。2. 二阶线性常微分方程的标准形式为：试简述方程的常点和正则奇点，并写出常点和正则奇点邻域内方程级数解的形式。三、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1. 证明函数在点可导，但在复平面上处处不解析。2. 已知：拉氏变换和卷积试证明拉氏变换的卷积定理： 四、计算题（第一、二题各 10 分，第三、四题各 12 分，共 44 分）1. 试计算积分2. 试把方程的解用第一类贝塞尔函数表示出来3. 用分离变量法求解如下长为的细杆导热的定解问题4. 已知拉氏变换的微分性质：试用拉氏变换法求如下微分方程的解： 得 分得 分
