高中数学 1.3.1 三角函数的周期性互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导 关于周期函数的概念，也可以叙述为：如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数.例如：sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z) 这表明，正弦函数在定义域内，自变量每增加（k＞0 时）或减少（k＜0 时）一个定值2|k|π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数. 理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数 T≠0；②对其定义域内的每一个 x 值，x+T 也属于定义域；③当 x 取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)恒成立. 在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数 f(x+T)=f(x)恒成立是对 f(x)的定义域中的每一个 x 值都成立，例如 y=sinx(x∈R)对于 x=,T=，显然有 sin(+)=sin，但 T=不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质. 利用周期函数的定义，可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如 y=sinx, x∈［-4π,10π］就不是周期函数，而 y=sinx,x∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数. 对于每一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.例如，2π 是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以2π 是正弦函数的最小正周期.值得注意的是：并非每一个周期函数都有最小正周期.例如，任意非零常数都是常数函数 f(x)=c(c 为常数)的周期，因而常数函数无最小正周期. 对于 f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式 T=,应明确 A,ω,φ 为常数，且 A≠0，ω＞0，还应掌握这个公式的推导方法.下面作为例子给出 f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式 T=的推导过程.令Z=ωx+φ，由y=AsinZ的周期是2π知f(Z+2π)=Asin(Z+2π)=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ ω(x+） +φ ］ =f （ x+）=f(Z)=Asin(ωx+φ)=f(x)对一切 x 都成立，所以 T=是 y=Asin(ωx+φ）的周期.活学巧用【例 1】 求 y=sin2x 的周期.解:ω=2，∴T=||==π.【例 2】 求 y=sin()的周期.解:∵ω=，由 T=得 T==4π.【例 3】 设 y=f(t)是某港口水的深度，y（米）关于时间 t(时)的函数，0≤t≤24，下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：T03691215182124Y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经观察，函数 y=f(t)的图象可近似地看成函数 y=k+Asin(ωx+φ)的图象，下面的函数中，最能近似表示数据间对应关系的函数是（其中 t∈［0,24］）( )A.y=12+3sin B.y=12+3sin(+π)C.y=12+3sin D.y=12+3sin(+)解析：根据图表画出 y=A(sinωx+φ)+k 的图象，如图.∴A==3，k==12，T=12，ω=，φ=0.∴y=3sin+12.答案：A
