第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积学习目标掌握球的表面积和体积公式,并能应用其解决有关问题,提高学生解决问题的能力,培养转化与化归的数学思想方法.学习过程一、课题引入,问题探究问题 1:圆的大小与半径有关,如何用半径来表示圆的面积?问题 2:若球的半径为 R,它的表面积和体积只与球的半径 R 有关,是以 R 为自变量的函数,如果球的半径为 R,那么如何用半径 R 来表示球的表面积和体积?二、典型例题,加深理解【例 1】如图所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的;(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.【例 2】若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 . 【例 3】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 【例 4】已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO⊥底面 ABC,AC=r,则球的体积与三棱锥的体积之比是( )A.πB.2πC.3πD.4π三、作业精选,巩固提高1.若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9π,则球的表面积是 . 2.三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A.1 倍B.2 倍C.倍D.倍3.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为 R 的内切球,然后将容器注满水,现把球从容器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少?布置作业课本 P28练习第 1,2,3 题.参考答案一、问题 1:S=πr2问题 2:S=4πR2,V=πR3.二、【例 1】证明:(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径为 R,高为 2R.因为 V 球=πR3,V 圆柱=πR2·2R=2πR3,所以,V 球=V 圆柱.(2)因为 S 球=4πR2,S 圆柱侧=2πR·2R=4πR2,所以,S 球=S 圆柱侧.【例 2】解析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径 R=,则该球的表面积为 S=4πR2=27π.答案:27π【例 3】解析:长方体的对角线为,则球的半径为,则球的表面积为 4π()2=14π.答案:14π【例 4】解析:由题意得 SO=r,为三棱锥的高,△ABC 是等腰直角三角形,所以其面积是×2r×r=r2,所以三棱锥的体积是×r2×r=,又球的体积为,则球的体积与三棱锥的体积之比是 4π.答案:D三、答案:1.100π 2.C3.解:作出圆锥和球的轴截面图如图所示,圆锥底面半径 r=R,圆锥母线 l=2r=2R,圆锥高为 h=r=3R,∴V 水=r2h-R3=·3R2·3R-R3=R3,球取出后,水形成一个圆台,下底面半径 r=R,设上底面半径为 r',则高 h'=(r-r')tan60°=R-r'),∴R3=h'(r2+r'2+rr'),∴5R3=R-r')(r'2+Rr'+3R2),∴5R3=(3R3-r'3),解得 r'=R=R,∴h'=(3-)R.答:容器中水的高度为(3-)R.
