§1.3 中国古代数学中的算法案例【学习目标】1、通过辗转相除法、更相减损之术、秦九韶算法的学习，进一步体会算法的基本思想。2、理解掌握辗转相除法与更相减损之术算法的含义；了解辗转相除、更相减损之术、秦九韶计算过程； 【教学重点】理解辗转相除法与更相减损之术求最大公约数的方法和秦九韶算法的方法【教学难点】理解辗转相除法与更相减损之术的方法；理解并学会应用秦九韶算法。 【自主探究】阅读课本 27 页至 31 页，完成下列问题：1．用两数中较大的数减去较小的数，再用 和 构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生 ，这个数就是最大公约数。2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是 ：用较大的数除以较小的数所得的 和 构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。3．把一个 n 次多项式改写成如下形式：＝ ＝ ＝…＝ 。求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即＝ 。 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即＝ 。 ＝ 。… 。这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为 。上述方法称为秦九韶算法：观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式，可见的计算要用到的值，若令，我们可以得到下面的公式： 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用 来实现。【预习检测】1．在对 16 和 12 求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4,12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出 12 和 16 的最大公约数是（ ） A.4 B.12C.16 D.82．用等值算法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做减法的次数是（ ）A.2B.3C.4D.53．我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率 π，这种算法称为（ ）A.弧田法B.逼近法C.割圆法D.割图法【典例解析】例 用秦九韶算法求多项式当 x＝2 时的值。【课堂检测】1．三个数：4557、1953、5115 的最大公约数是（ ）A.31B.93C.217D.6512．用秦九韶算法计算多项式当 x=-2 时的值等于（ ）A.－10B.-32C.-12D.83．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（ ）A.秦九韶算法与直接计算相比，大大节省乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单B.秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C.秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D.秦九韶算法避免对自变量 x 单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长...
