2．1.5 平面上两点间的距离在一条直线型的河流 l 的同侧有两个村庄 A、B.现在要在河流旁边共建造一水厂 C 向两个村庄供水，要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短，则水厂应当建在什么地方？我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短，那么，应当铺设的管道最短是多少？1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P 1 P 2 ＝ ．特别，当直线 P1P2 垂直于 y 轴时，P 1 P 2 ＝ | x 2 － x 1| ；当直线 P1P2 垂直于 x 轴时，P 1 P 2 ＝ | y 2 － y 1 | ；当 P1，P2 中有一个是原点时，则有 OP ＝ _或 OP ＝ ．2．利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为：第一步，建立坐标系用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何关系．,两点间的距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P1P2＝.特别：当直线 P1P2 垂直于 y 轴时，P1P2＝|x2－x1|；当直线 P1P2 垂直于 x 轴时，P1P2＝|y2－y1|；当 P1，P2 中有一个是原点时，则有 OP＝或 OP＝.两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离，公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决几何问题的基本思路．知识点一 两点间距离公式的正用11．已知点 A(1，3)，B(2，6)，则 AB 等于________．解析：AB＝＝.答案：2．三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(3，7)、B(5，－1)、C(－2，－5)，则 AB 边中线CD 的长是________．解析：由中点公式求出 AB 边的中点 D 的坐标为(4，3)，再由两点间的距离公式求出 CD.答案：103．光线从点 A(－3，5)射到直线 l：3x－4y＋4＝0 以后，再反射到一点 B(2，15)．(1)求入射线与反射线的方程；(2)求这条光线从 A 到 B 的长度．解析：(1)设点 A 关于直线 l 的对称点为 A1(x0，y0)，由直线 AA1 与已知直线垂直，且 AA1中点也在直线上，则有解得 x0＝3，y0＝－3，即 A1(3，－3)．于是反射光线方程为＝，即 18x＋y－51＝0.同理 B1(14，－1)，入射光线方程为 6x＋17y－67＝0.(2)光线从 A 到 B 的长度，利用线段的垂直平分线性质，即得 AP＋PB＝A1P＋PB＝A1B＝＝5.知识点二 两点间距离公式的逆用4．已知点 M(a，0)到点 A(5，12)的距离为 13，则 a 的值为________．解析：由两点间的距离公式得＝13，解得 a＝0 或...
