高中数学 2.2 几种常见的平面变换 2.2.6 切变变换教学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学教学案

2．2.6 切变变换1．由矩阵 M＝或 N＝确定的变换称为切变变换，矩阵 M，N 称为切变变换矩阵．2．矩阵把平面上的点(x，y)沿 x 轴 方向平移| ky | 个单位．当 ky>0 时，沿 x 轴正方向 移动；当 ky<0 时，沿 x 轴负方向 移动；当 ky＝0 时，保持不变，在此变换下，x 轴上的点为不动点．3．矩阵把平面上的点(x，y)沿 y 轴 方向平移_| kx | 个单位．当 kx＝0 时，保持不变，在此变换下，y 轴上的点为不动点．求点或平面图形在切变变换作用下的象 [例 1] 画出平行四边形 ABCD，其中 A(0,0)，B(2,0)，C(4,1)，D(2,1)，在切变变换的作用下对应的图形，并指出在这个变换下的不变量．[思路点拨] 把平面上的点(x，y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位，此题中 k＝－2，故每个点的纵坐标不变，横坐标沿 x 轴负方向平移 2y 个单位．[精解详析] 变换矩阵是平行于 x 轴的切变变换矩阵，在这个变换下，平行四边形上的每个点的纵坐标不变，横坐标沿 x 轴的负方向平移 2y 个单位，设变换后平行四边形的顶点是 A′，B′，C′，D′，则 A′(0,0)，B′(2,0)，C′(2,1)，D′(0,1)，变换前后的图形如图所示，其中线段 AB 上的点为不变量．解决此类问题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系，此关系的确定可通过矩阵与向量的乘法规则完成．1．求直线 x＝1 在矩阵 M＝所确定的变换作用下的象．解：因为 M＝→＝ ＝，所以所以直线 x＝1 在矩阵所确定的变换的作用下的结果是直线 x＋y－1＝0.2．如图所示，已知矩形 ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域 ABCD 在变换过程中的不变线段．解：因为 ＝， ＝， ＝， ＝.所以矩形 ABCD 在矩阵作用下变成了平行四边形 A′B′C′D′.这里 A′(－2，－1)，B′(4,1)，C′(1,1)，D′(－5，－1)，如图所示．线段 EF 为该切变变换下的不变线段．求切变变换矩阵[例 2] 如图，在切变变换下，平行四边形 ABCD 变换为平行四边形 A′B′C′D′，试写出这个切变变换的变换矩阵，指出其中的不变线段．[思路点拨] 观察各点变换前后坐标变化特点，易知是何种切变变换，确定 k 值．[精解详析] 显然 A，B，C，D 各点的横坐标不变，纵坐标各自加上了－x，故这个切变变换的变换矩阵是，这个变换中只有平行四边形中与 y 轴相交部分的线段是不变量．这类试题既可以通过观察，找到 k 值，也可以根据待定系数的方法确定 k 值，如例 2根据点 ...