高中数学 2.2.3 向量的数乘互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数 λ 与 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长|λa|=|λ|·|a|.它的方向是这样定义的：当 a≠0 时.λ＞0，λa 与 a 同向；λ＜0,λa 与 a 反向；当 λ=0 或 a=0 时，0a=0 或λ0=0.(2)根据向量数乘的定义.a 与 λa 为共线向量，两者方向相同或相反，（a≠0,λ≠0）在此前提下，λa 可以理解为把 a 的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.（3）几点说明①λa 中的实数 λ,叫做向量 a 的系数，此系数决定着 λa 与 a 的模的关系及方向相同或相反.② 向量数乘的特殊情况：当 λ=0 时，λa=0，而当 a=0 时，λa=0.③ 实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如 λ+a,λ-a 根本无意义.2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设 λ,u 为实数，则(1)（λ+u）a=λa+ua,(2)λ(ua)=(λu)a，(3)λ(a+b)=λa+ub(分配律).疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+u）a=λa+ua 和 λ(a+b)=λa+ub.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例 1 （1）计算下列各式：①2(a+b)-3(a-b);②3(a-2b+c)-（2c+b-a）;③（a-b）-（2a+4b）+（2a+13b）.（2）设 x、y 是未知向量解方程组【探究】要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程类似合并同类项.（2）是解关于未知向量的方程或方程组.它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解】（1）① 2（a+b）-3（a-b）=2a+2b-3a+3b=-a+5b.②3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a+(--+)b=0a+0b=0.(2)把第 1 个方程的-2 倍与第 2 个方程相加，得y=-2a+b，从而 y=-a+b,代入原来第2 个方程得 x=-a+b.∴规律总结 向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.4.利用向量...
