高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.两角和与差的正弦公式sin（α-β）=cos(-α+β)=cos［(-α)+β］=cos(-α)cosβ-sin(-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，即 sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ.在上式中，以-β 代 β 可得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.2.正确理解和差角的正弦公式（1）公式对于任意的角 α、β 都成立.(2)搞清 sin（α±β）的意义，例如 sin（α+β）是两角 α 与 β 的和的正弦，它表示角α+β 终 边 上 任 意 一 点 的 纵 坐 标 与 原 点 到 这 点 的 距 离 之 比 ， 在 一 般 情 况 下sin（α+β）≠sinα+sinβ,如 α=，β=时，sin（+）=sin=1，sin+sin=+=≠1,∴sin(+)≠sin+sin.只有在某些特殊情况下，sin（α+β）=sinα+sinβ.例如，当 α=0，β=时，sin（0+）=sin=，sin0+sin=0+=，sin（0+）=sin0+sin.在学习时一定要注意:不能把 sin（α+β）按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简 sin20°cos50°-sin70°cos40°,能观察出此式等于 sin（20°-50°）=-sin30°=-.（4）灵活运用和（差）角公式，例如化简 sin（α+β）cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin（α+β）,cos(α+β)展开，而应就整个式子，直接运用公式 sin［（α+β）-β］=sinα,这也是公式的逆用.3.有关点（向量）的一组旋转公式已知点 P（x,y）,与原点距离保持不变绕原点旋转 θ 角到点 P′(x′,y′),则公式推导如下：如下图所示：设∠xOP=α,则 cosα=,sinα=.∴x′=rcos(α+θ)=r(cosαcosθ-sinαsinθ)=xcosθ-ysinθ，y′=rsin(α+θ)=r(sinαcosθ+cosαsinθ)=xsinθ+ycosθ.即4.形如 asinx+bcosx(a,b 不同时为零)的三角函数式可化为一个角的一个三角函数式.记住以下重要结论：asinx+bcosx=sin(x+θ)其 中 sinθ=,cosθ=, 推 导 如 下 ： 考 察 以 （ a,b ） 为 坐 标 的 点P（a,b）,设以 OP 为终边的一个角为 θ，则 cosθ=,sinθ=.于是 asinx+bcosx=(sinx+cosx)=a2+b2(cosθsinx+sinθcosx)= sin(x+-θ).其中 sinθ=,cosθ=.活学巧用【例 1】化简下列各式（1）cos（80°+3α）cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α)；(2)sin(x+)+2sin(x-)-cos(-x)；(3).解析：（1）原式=cos（80°+3α）cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=.(2)原式=sin（x+）...
