高中数学 2.4 向量的数量积第二课时互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导 从数学角度考虑，我们希望向量的数量积也能像数量乘法那样满足某些运算律.由数量积定义a·b=|a|·|b|·cos〈a·b〉=|b|·|a|cos〈b，a〉=b·a,知数量积运算满足交换律. 我们知道一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量，如果将分配律（a+b）·c=a·c+b·c 中的向量 c 换成它的单位向量 c0，则分配律变为（a+b）·c0=a·c0+b·c0（*）. 证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上投影的数量和. 为此，我们画出（*）式两边的几何图形进行推导.作轴 l 与向量 c 的单位向量 c0平行，作=a, =b,作=a+b.设点 O、A、B 在轴 l 上的射影为 O、A′、B′，根据向量的数量积定义有·c0=a·c0A′B′=·c0=b·c0OB′=·c0=（a+b）·c0但对轴上任意三点 O、A′、B′，都有,于是（*）式成立.（*）式两边同乘以|c|，得（a+b）·c=a·c+b·c.容易验证数乘以向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数 λ,有λ(a·b)=（λa）·b=a·（λb）.规律总结 （1）数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律.（2）从力做功的情况看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有（λa）·b=λ(a·b).（ 3 ） 两 个 力 在 同 一 物 体 上 所 做 的 功 等 于 合 力 所 做 的 功 ， 于 是 有 分 配 律 ：（a+b）·c=a·c+b·c.(4)平面向量的数量积不满足结合律 a·（b·c）=(a·b)·c 是错误的，这是因为 a·b 与b·c 都是数量，所以 a·（b·c）代表的是与 a 共线的向量；（a·b）·c 代表的是与 c 共线的向量，向量 a 与 c 不一定共线，当然就不一定相等.活学巧用【例 1】 下列等式中，其中正确的是（ ）①|a|2=a2;②;③（a·b）2=a2·b2;④（a+b）2=a2+2a·b+b2.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析：①|a|2=a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②.③（a·b）2=（|a|·|b|cosθ）2=|a|2·|b|2cos2θ④(a+b)2=(a+b)·（a+b）=a2+a·b+b·a+b2=a2+2a·b+b2.答案：B【例 2】 已知|a|=6，|b|=8，〈a,b〉=120°，求|a+b|2，|a+b|.解析：可以利用运算律结合性质处理.由题有|a+b|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2=62+2×6×8·cos120°+82=52，∴|a+b|=.【例 3】运用内...
