高中数学 2.5 向量的应用第二课时互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e1,e2}，已知 a=（a1,a2）,b=(b1,b2),则a·b=（a1e1+a2e2）(b1e1+b2e2)=a1b1e12+(a1b2+a2b1)·e1·e2+a2b2e22因为 e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,故 a·b=a1b1+a2b2.疑难疏引 （1）两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和，并且此式是正交基底{e1,e2}下实现的.（2）引入坐标后，实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设 a=（a1,a2）,b=(b1,b2),如果 a⊥b，则 a1b1+a2b2=0；反之，若 a1b1+a2b2=0,则 a⊥b；当a⊥b 时，若 b1b2≠0,则向量（a1,a2）与（-b2,b1）平行，这是因为 a⊥b，a1b1+a2b2=0.即a1b1=-a2b1,,两向量平行的条件是相应坐标成比例，所以（a1,a2）与（-b2,b1）平行，特别的向量 k(-b2,b1)与向量（b1,b2）垂直，k 为任意实数，例如向量（3，4）与向量（-4，3），（-8，6），（12，-9）……都垂直.疑难疏引 设 a=（a1，a2）,b=(b1，b2)a1b1+a2b2=0a⊥b 且 a1⊥ba1b1+a2b2=0.3.向量的长度、距离和夹角公式（1）已知 a=（a1,a2）,则|a|2=a2=a12+a22,即|a|=.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若 A(x1y2),B(x2y2),则=(x2-x1,y2-y1)||=,此式可视为 A、B 两点的距离公式.（2）设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),故 cos〈a,b〉=该处夹角公式是非零向量的夹角公式.活学巧用【例 1】 设 a=（4，-3），b=（2，1），若 a+tb 与 b 的夹角为 45°,求实数 t 的值.解析：利用 a·b=|a|·|b|·cosθ 建立方程，解方程即可.a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3)(a+tb)·b=（4+2t,t-3）·(2,1)=5t+5.|a+tb|=由(a+tb)·b=|a+tb|·|b|·cos45°得 5t+5=即 t2+2t-3=0.∴t=-3 或 t=1，经检验 t=-3 不合题意，舍去，只取 t=1.【例 2】 已知点 A（2，3），若把向量绕原点 O 按逆时针旋转 90°得向量,求点 B的坐标.解析：要求点 B 坐标，可设为 B（x,y），利用⊥,||=||列方程解决之.设点 B 坐标为（x,y），因为⊥OB，||=||所以有解得或(舍去)，所以 B 点坐标为（-3，2）.【例 3】已知 a=（2，），b=（1，1）.求 a 与 b 的夹角 θ.解析：向量坐标已知可利用夹角坐标公式解决a·b==.∴cosθ=，又 0°≤θ≤180°，∴θ=60°.【例 4】已知 a+b+c=0,|a|=3，|b|=5，|c|=7.求〈a、b〉的值.解析：∵a+b+c=0,∴a+b=-c.∴|a+b|=|c|,∴(a+b)2=c2，即 a2+2a·b+b2=c2.∴a·b=∴cos〈a,b〉=÷(3×5)=,∴〈a,b〉=.
