高中数学 2.5.1等比数列的前n项和导学案（含解析）新人教版必修5-新人教版高二必修5数学学案

第二章第五节等比数列前 n 项和目标定位：1.了解等比数列前 n 项和公式的推导过程，掌握等数列的五个基本量之间的关系。 2.掌握等比数列前 N 项和公式，性质及其应用。（重点） 3.能应用错位相减法对数列求和。（难点）等比数列的前 n 项和公式[提出问题]已知等比数列{an}，公比为 q，Sn是其前 n 项的和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.问题 1：若 q＝1，则 Sn与 a1有何关系？提示：Sn＝na1.问题 2：若 q≠1，你能用 a1，q 直接表示 Sn吗？如何表示？提示： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①两边同乘以 q，可得：qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴当 q≠1 时，Sn＝.[导入新知]等比数列的前 n 项和公式已知量首项 a1与公比 q首项 a1，末项 an与公比 q公式Sn＝Sn＝[化解疑难]1．在运用等比数列的前 n 项和公式时，一定要注意对公比 q 的讨论(q＝1 或 q≠1)．2．当 q≠1 时，若已知 a1及 q，则用公式 Sn＝较好；若已知 an，则用公式 Sn＝较好．等比数列的前 n 项和公式的基本运算[例 1] 在等比数列{an}中，(1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7；(2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1和 n；(3)若 a3＝，S3＝，求 a1和公比 q.[解] (1)因{an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16∴a5＝a1q4∴16＝q4∴q＝2(负舍)∴S7＝＝＝127.(2)法一：由 Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得∴a1·2n＝192，∴2n＝.∴189＝a1(2n－1)＝a1，∴a1＝3.又 2n－1＝＝32，∴n＝6.法二：由公式 Sn＝及条件得189＝，解得 a1＝3，又由 an＝a1·qn－1，得 96＝3·2n－1，解得 n＝6.(3)① 当 q≠1 时，S3＝＝，又 a3＝a1·q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝，解得 q＝－(q＝1 舍去)，∴a1＝6.② 当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝.综上得或[类题通法]在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn中，a1与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用 a1与 q 表示 an与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用]1．在等比数列{an}中，(1)若 q＝2，S4＝1，求 S8.(2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求 a4和 S5；解：(1)设首项为 a1， q＝2，S4＝1，∴＝1，即 a1＝，∴S8＝＝＝17.(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得即 a1≠0,1＋q2≠...