高中数学 2.3.1 平面向量基本定理互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.平面向量基本定理如果 e1和 e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a,存在唯一的一对实数 a1,a2,使得，我们把不共线向量 e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1,e2}，a1e1+a2e2叫做向量 a 关于基底{e1,e2}的分解式.规律总结 ①由平面向量基本定理知，平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是惟一的.②a1e1+a2e2叫做 e1,e2的一个线性组合，由平面向量基本定理知，若 e1,e2不共线，那么由e1,e2的所有线性组合构成的集合{a1e1+a2e2,a1,a2∈R}就是平面内的全体向量，所以我们把e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.平面向量基本定理虽然没有指出 a1,a2的计算方法，但它却和平行向量基本定理一起，深刻地揭示了平面向量的基本结构，是继续深入研究向量的基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，从而使问题解决.2.平面向量基本定理的证明（选学）要证明这个定理要从两方面入手，首先要证明存在性，第二要证明惟一性.证明：在平面内任取一点 O，作=e1,=e2,=a,由于 e1与 e2不平行，可以进行如下作图，过点 A 作的平行（或重合）直线，交直线于点 M，过 A 点作的平行（或重合）直线，交直线于点 N，于是依据平行向量基本定理，存在两个惟一的实数a1,a2分别有=a1e1,=a2e2所以=+=a1e1+a2e2.证明表示的惟一性：如果存在另一对实数 x,y 使=xe1+ye2,则 a1e1+a2e2=xe1+ye2.即（x-a1）e1+(y-a2)e2=0.由于 e1与 e2不平行，如果 x-a1,y-a2中有一个不等于 0，不妨设 y-a2≠0,则 e2=e1,由平行向量基本定理得，e1与 e2平行，这与假设矛盾，因此 x-a1=0,y-a2=0 即 x=a1,y=a2.综上,平面向量基本定理得证.3.直线 l 的向量参数方程式及线段的中点的向量表达式已知 A、B 是直线 l 上任意两点，O 是 l 外一点,如下图所示，则对直线 l 上任一点 P，存在实数 t,使关于基底{，}的分解式为(*)并且满足上式的点 P 一定在 l 上.（1）证明如下：设点 P 在直线 l 上，则由平行向量基本定理知，存在实数 t,使=t=t(-)所以=+=+t-t=（1-t）+t设点 P 满足等式=（1-t）+t,则=t,即 P 在 l 上.（2）由上面的证明可知，对直线 l 上任意一点 P，一定存在惟一的实数 t 满足向量等式（*）....
