第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法学习目标1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法——向量法和坐标法.3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神. 合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:若 O 为△ABC 重心,则= . 问题 2:水渠横断面是四边形 ABCD,,且||=||,则这个四边形为 . 二、信息交流,揭示规律问题 3:(1)向量运算与几何中的结论“若 a=b,则|a|=|b|,且 a,b 所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.三、运用规律,解决问题【例 1】证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知:平行四边形 ABCD.求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1) ; (2) ; (3) . 【例 2】如图,平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AD,DC 边的中点,BE,BF 分别与 AC 交于R,T 两点,你能发现 AR,RT,TC 之间的关系吗?1四、变式演练,深化提高练习:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?编题不只是教师的专利.请自己编题,并且加以解决.五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本 P113习题 2.5A 组第 1,2 题.参考答案一、设计问题,创设情境问题 1:=0问题 2:等腰梯形二、信息交流,揭示规律问题 3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图,平行四边行 ABCD 中,设=a,=b,则=a+b(平移),=a-b,=b2=|AD|2(长度).向量的夹角为∠DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.三、运用规律,解决问题【例 1】证明:不妨设=a,=b,则=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.得||2==(a+b)·(a+b)=a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2. ①同理||2=|a|2-2a·b+|b|2. ②2①+② 得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2).所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何...
