【金版学案】2015-2016 年高中数学 2.3.1 对数学案 苏教版必修 11．如果 ax＝N(a＞0，a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数．记作 x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：例如：将指数式化为对数式：①42＝16，log416 ＝ 2 ；②102＝100，log10100 ＝ 2 ；③4＝2，log42 ＝ ； ④10－2＝0.01，log100.01 ＝－ 2 ．(1)以 10 为底的对数叫做常用对数，并把常用对数 log10N 简记为 lg N；(2)以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，叫自然对数，并把自然对数 logeN 简记为 ln N.例如：lg 5 ，lg 3.5 是常用对数；ln 10，ln 3 是自然对数．2．指数与对数的关系：设 a＞0，且 a≠1，则 ax＝N⇔logaN＝x.对数式与指数式的互化如下表：logaN＝x⇔ax＝N对数式⇔指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂数3.对数的性质．(1)在指数式中 N>0，故零和负数没有对数，即式子 logaN 中 N 必须大于 0；(2)设 a＞0，a≠1，则有 a0＝1，∴loga1＝0，即 1 的对数为 0；(3)设 a＞0，a≠1，则有 a1＝a，∴logaa＝1，即底数的对数为 1.4．对数恒等式．(1)如果把 ab＝N 中的 b 写成 logaN，则有：alogaN＝N；(2)如果把 x＝logaN 中的 N 写成 ax，则有：logaax＝x.5．设 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，简记为：积的对数＝对数的和．(2)loga＝logaM－logaN，简记为：商的对数＝对数的差．(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例如：① lg(3×5)＝lg_3 ＋ lg _5；② lg 5＋lg 2＝1；③ ln e2＝2．6．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如 lg(x＋y)与 lg x＋y 的含义不同．(2)(lg M)n与 lg Mn的含义不同．(3)log2[(－3)×(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的．(4)log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：loga(MN)≠logaM·logaN；loga(M±N)≠logaM±logaN.7．对数的换底公式 logab＝(a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1；b＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log35＝，其中 a＞0，且 a≠1.8．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式．例如：设 a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1；b＞0.求证：logab＝.证明：设 logab＝x，则 b＝ax.于是 logcb＝logcax，即 xlogca＝logcb.∴x＝.∴lo...
