函数单调性应用的四个层次函数的单调性是函数的重要性质之一，也是高中数学学习的一个难点，为了帮助同学们掌握这部分内容，我们可以从以下四个方面入手．一、正面应用——掌握规范的操作程序函数的定义是证明函数单调性最基本，最常用的方法．例1已知函数，求证：在区间上是减函数，在区间上为增函数．分析：二次函数的图象当时开口向上，显然在区间上是减函数，在区间上为增函数．证明：任取，，且，则，由题知，当时，，．又，．故在区间上是减函数．同理可证在区间上是增函数．1二、逆向应用——培养逆向思维能力学会概念的逆向使用，对于培养同学们的逆向思维能力是大有好处的．例2设是定义在（上的增函数，且满足．若，且，求实数 的取值范围．解：因为且，所以，又， 所 以， 再 由可 知 ， ．又因为是定义在上的增函数，从而有，解得：．故所求实数 的取值范围为．三、灵活应用——提高解决问题的能力由函数单调的定义易知，任何一个单调函数，在其单调区间上每一个自变量与函数值之间都是一一对应的．应用此性质解题是单调函数概念运用的一个重要方面．例 3 给定函数．问在函数的图象上是否存在两个不同的点，使得过这两点的直线与 轴平行，并证明你的结论．解：下面证明在上是增函数．任取，且．则 因为，所以．所以，即： ．所以 在上是增函数．从而对函数图象上任意两点，当时，一定有．因此， 在函数的图象上不存在两个不同的点，使得过这两点的直线与 轴平行．2四、构造应用，培养创造能力应用单调函数解题的创造性体现在：通过已知条件进行联想，从而发现或构造出单调函数，再利用函数的单调性解题．例 4 已 知为 实 数 ， 且 满 足， 则．解：由已知条件，可得： ．故若设，则上述条件即为：．又易知函数在上是增函数，所以由上式有：，即： ．3
