对函数单调性定义的等价解释和灵活运用函数的单调性是函数的一个重要性质，它具有很强的应用性，如比较大小、解不等式、求最值、作图象，进行证明等都能用到单调性的定义，而对单调性定义的等价理解方便解题.由函数单调性的定义可以得到如下结论：设函数 f(x)是定义在区间(a，b)上的增（减）函数，则对任意、，有：（1）若＞ ，则 f（）－f（）＞0增函数；（2）若＜ ，则 f（）－f（）＞0减函数；（3）（－）[f（）－f（）]＞0增函数；（4）（－）[f（）－f（）]＜0减函数；利用上面等价定义处理函数的单调性问题，有时比直接利用定义处理更简洁.一、证明单调性例 1 求证：函数 f(x)=－+1 在（－∞，+∞）上是减函数.分析：考虑运用结论：（4）（－）[f（）－f（）]＜0减函数进行证明，只需要进行因式分解变形.证明：在（－∞，+∞）上任取两个实数、，且≠，则有(－)[f()－f（）]=(－)(－)=－(－) (++)=－(－) []＜0，即（－）[f（）－f（）]＜0，故函数 f(x)=－+1 在（－∞，+∞）上是减函数.二、讨论单调区间例 2 已知函数 f(x)=，讨论函数在区间（0，+∞）上的单调性.分析：涉及讨论函数单调性的问题运用结论：（1）若＞ ，则 f（）－f（）＞01增函数；或（2）若＜ ，则 f（）－f（）＞0减函数比较方便.解析：任取 0＜＜，则 f（）－f（）=，当，时，，又＜，则－＞0，所以 f（）－f（）=＜0，所以 f（）＜f（），所以 f(x)在（0，a 上是单调减函数.当 a＜＜时，＞，则 f（）－f（）=＞0，f（）＞f（），所以 f(x)在[a，+∞ 上是单调增函数.点评：一般地函数在上为减函数，在上为增函数，这个结论非常有用.三、求解不等式 例 3 已知 f(x)是定义在[－2，2]上的函数，且 f(－x)=f(x)，又 f(x)在[0，2]上是减函数，且 f(1－m) ＜f(m)，求实数 m 的取值范围.分析：由于 f(x)在[0，2]上是减函数，考虑运用结论：（2）若＜ ，则 f（）－f（）＞0减函数解决问题.解析： f(－x)=f(x)，∴f(x)=f(|x|)，则 f(1－m)= f(|1－m|)，f(m) =f(|m|)，又 f(1－m) －f(m)＜0，∴f(|1－m|) －f(|m|)＜0 ①，又 f(x)在[0，2]上是减函数，则有(|1－2m|－|m|)[ f(|1－m|) －f(|m|)]＜0 ② ，由①②得|1－m|－|m|＞0.从而，解得，因此实数 m 的取值范围是.点评：抓住当 f(－x)=f(x)时，得到 f(x)=f(|x|)是解决本题的突破口.四、求函数最值例 4 已知函数，.（1）当 a=时，求函数 f(x)的最小值；（2）若...
