2.2 几种常见的平面变换章末分层突破本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式)求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通常用代入法(相关点法)求解. 下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？(1)，点 A(2，1)；(2)，直线 y＝2x＋2. 【解】 (1)矩阵对应的坐标变换公式为把 A(2，1)代入即得 A 的对应点为 A′(1，－2)，该变换把列向量OA＝按顺时针方向旋转 90°.故该变换为旋转变换，如图所示.(2)设直线 y＝2x＋2 上任意一点 P(x，y)按矩阵所表示的坐标变换对应的点为 P′(x′，y′)，则＝＝，即∴代入 y＝2x＋2，得－y′＝2x′＋2，即直线 y＝2x＋2 经过变换得到的图形为直线 y＝－2x－2，如图所示，此变换为关于 x 轴的反射变换.二、求变换矩阵根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵. 求 把 △ ABC 变 换 成 △ A′B′C′ 的 变 换 对 应 的 矩 阵 ， 其 中 A( －2，1)，B(0，1 )，C (0，－1)；A′(－2，－3)，B′(0，1)，C′(0，－1).【解】 设变换对应的矩阵为，1由已知，得＝，＝，＝，即即∴变换对应的矩阵为.三、函数方程思想本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想. 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.(1)，图形的方程为：x2＋y2＝4；(2)，图形的方程为：y＝－2x＋6.【解】 (1)所给方程表示的是以原点为圆心，2 为半径的圆.设 A(x，y)为曲线上的任意一点，经过变换后的点为 A1(x1，y1)，则＝＝，∴2x＝x1，y＝y1，即 x＝，y＝y1将其代入 x2＋y2＝4 可得到方程＋y＝4，此方程表示椭圆.所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换.(2)所给方程表示的是一条直线.设 A(x，y)为直线上的任意一点，经过变换后的点为A1(x1，y1). ＝＝，∴x1＝0，y1＝2x＋y.又由 y＝－2x＋6 得 2x＋y＝6，∴A1(0，6)为定点.通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换. 如图 226 所示，对反比例函数图象 C：y＝经过旋转变换将其方程改写为标准形式.图 226【解】 设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点，它在变换 T 作用下的象 P′(x′，y′)，其中变换矩阵为＝，则解得故 xy＝＝4，y′2－x′2＝8，因此旋转后...
