高中数学 几何变换与矩阵 2.2.4-5-6 旋转变换 投影变换 切变变换学案 苏教版选修4-2-苏教版高二选修4-2数学学案

2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.[基础·初探]1.旋转变换(1)旋转变换的定义：将一个图形 F 绕某个定点 O 旋转角度 θ 所得图形 F′的变换称为旋转变换，其中点 O 称为旋转中心，角度 θ 称为旋转角.(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点 O 且逆时针旋转 θ 角时，旋转变换的矩阵为，像这样的矩阵称为旋转变换矩阵.(3)旋转变换的特点：① 旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.② 旋转中心在旋转过程中保持不变.③ 图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.④ 绕定点旋转 180°的变换相当于关于定点作中心反射变换.2.投影变换(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换.(2)投影变换矩阵：像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射.3.切变变换(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.(2)切变变换矩阵一般地，在平面直角坐标系 xOy 内，将任一点 P(x，y)沿着 x 轴(或 y 轴)方向平移|ky|(或 |kx|)个单位变成点 P′(x′，y′)，(其中 k 是非零常数)，对应的变换矩阵或(k∈R，k≠0)，称为切变变换矩阵.(3)切变变换的矩阵表示及其几何意义① 矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点 P(x，y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位：当 ky＞0 时，沿x 轴正方向 移动；当 ky＜0 时，沿 x 轴负方向 移动；当 ky＝0 时，位置不变.在此变换作用下，x轴上的点为不动点.② 矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点 P(x，y)沿 y 轴方向平移|kx|个单位：当 kx＞0 时，沿y 轴正方向 移动；当 kx＜0 时，沿 y 轴负方向 移动；当 kx＝0 时，位置不变.在此变换作用下，y轴上的点为不动点.[思考·探究]1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？1【提示】 旋转变换所对应的矩阵表示为 ，这里 θ 为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当 θ＞0 时，旋转的方向是逆时针；当 θ＜0 时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？【提示】 (1)恒等变换，关于 x 轴、y 轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区...