5 特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用设 A＝是一个二阶矩阵，λ 是矩阵 A 的一个特征值，α 是属于 λ 的一个特征向量
欲求λ 及 α，可令 A 的特征多项式等于 0，即可求出 λ 的值，将 λ 的值代入方程组得到一组非零解，即为矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量
求矩阵 M＝的特征值及其对应的特征向量
【解】 矩阵 M 的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－1)－4＝λ2－2λ－3
令 f(λ)＝0，得矩阵 M 的特征值为－1 和 3
当 λ＝－1 时，联立，解得 x＋y＝0所以矩阵 M 的属于特征值－1 的一个特征向量为
当 λ＝3 时，联立，解得 x＝y所以矩阵 M 的属于特征值 3 的一个特征向量为
二、Anα 的表示(计算)设 λ1，λ2是二阶矩阵 M 的两个不同特征值，矩阵 M 的属于特征值 λ1，λ2的特征向量分别为 α1，α2，则平面上任一非零向量 β 可表示为 β＝s α1＋t α2(其中 s，t 为实数)，则Mnβ＝Mn(s α1＋t α2)＝sλα1＋tλα2(n∈N*)
若矩阵 A 有特征值 λ1＝2，λ2＝－1，它们所对应的特征向量分别为 α1＝，α2＝
(1)求矩阵 A 和其逆矩阵 A－1；(2)已知 α＝，试求 A100α
【解】 (1)设矩阵 A＝，其特征多项式为 f(λ)＝
当 λ1＝2 时，其特征向量为 α1＝，∴∴同理当 λ2＝－1 时，其特征向量为 α2＝，∴∴∴A＝，det(A)＝－2，∴A－1＝－＝
(2)设 α＝s α1＋t α2，则＝s＋t，1∴s＝1，t＝16
∴A100α＝1×2100×＋16×(－1)100×＝＋＝
三、函数方程思想的应用本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解
已知二阶矩阵 A 的属于特征值－
