复习课(三) 数系的扩充与复数的引入复数的概念(1)复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．1．复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0.(2)z∈R⇔z＝.(3)z∈R⇔z2≥0.2．复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0.(2)z 是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)．(3)z 是纯虚数⇔z2<0.3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．[典例] 实数 k 分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是 0.[解] (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数．(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数．(3)当即 k＝4 时，该复数为纯虚数．(4)当即 k＝－1 时，该复数为 0.[类题通法]处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是 a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为 a＋bi 的形式，以便确定其实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求， 否则容易产生增根．1．若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)，是 z 的共轭复数，则 z2＋z的虚部为( )A．0 B．－1C．1 D．－2解析：选 A 因为 z＝1＋i，所以＝1－i，所以 z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选 A.2．复数 z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当 x 为何实数时，(1)z∈R；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．解：(1) 一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，∴由②，得 x＝4，经验证满足①③式．∴当 x＝4 时，z∈R.(2) 一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于 0，∴解得即＜x＜4 或 x＞4 时，z 为虚数．(3) 一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为 0 且虚部不为 0，∴解得方程组无解．∴复数 z 不可能是纯虚数.复数加、减法的几何意义(1)复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小．(2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．1．复数的几何意义(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应 向量是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．2．复数的模(1...
