历史上的数学危机 1-1 什么是数学危机 为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机
一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等
但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等
在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展
人类最早认识的是自然数
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决
但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示
于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此
在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入
这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方
