三 空间向量与立体几何 [学生用书 P81]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得 a＝λb.(2)共线向量定理的推论：若OA，OB不共线，则 P，A，B 三点共线的充要条件是 OP＝λ OA＋μ OB，且 λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使得 p＝xa＋yb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，则P，A，B，C 四点共面的充要条件是OP＝x OA＋y OB＋z OC(其中 x＋y＋z＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要结论a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝＝；②cos〈a，b〉＝＝ .(2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB|＝.4．空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔u∥v⇔u ＝ kv⇔(a1 ， b1 ， c1) ＝ k(a2 ， b2 ， c2)⇔a1 ＝ ka2 ， b1 ＝ kb2 ， c1 ＝kc2(k∈R)．(2)设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2的方向向量分别为 m1，m2，则 l1与 l2的夹角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 的夹角 θ满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 ...
