高中数学 三角形“四心”向量形式的充要条件应用素材

高中数学 三角形“四心”向量形式的充要条件应用素材1）O 是 ABC的重心0OCOBOA;若 O 是 ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;为的重心.2）O 是 ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;若 O 是 ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCCtanOBBtanOAAtan3）O 是 ABC的外心|OC||OB||OA|(或222OCOBOA)若 O 是 ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4）O 是内心 ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才 O 是 ABC内心的充要条件可以写成 0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 O 是 ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa若 O 是 ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：： 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；用心 爱心 专心1若 O、H 分别是△ABC 的外心和垂心. .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。用心 爱心 专心2