高中数学 第1章 不等关系与基本不等式章末复习课学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案

第 1 章 不等关系与基本不等式[自我校对] ① 求差比较法与求商比较法 ②算术几何平均值 ③分析法与综合法 ④反证法、几何法与放缩法不等式性质的应用主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查，考查形式多以选择题出现．【例 1】 给出下列条件：① 1＜a＜b；② 0＜a＜b＜1；③ 0＜a＜1＜b.其中能推出 logb＜loga＜logab 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．[精彩点拨] 先化简被推出的不等式，然后根据对数函数的性质，逐个判断．[自主解答] logb ＝－1，若 1＜a＜b，则＜＜1＜b，∴loga ＜loga ＝－1，故条件①不可以；若 0＜a＜b＜1，则 b＜1＜＜，∴logab＞loga ＞loga ＝－1＝logb ，故条件②可以；若 0＜a＜1＜b，则 0＜＜1，∴loga ＞0，logab＜0.1因此条件③不可以．[答案] ②1．若 a，b 是任意实数，且 a＞b，则( )A．a2＞b2 B．＜1C．lg(a－b)＞0D．＜[解析] a＞b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成立．又 a＞b⇒a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝是减函数，所以 a＞b⇔＜成立．[答案] D恒成立问题中求字母范围的问题在给定区间上不等式恒成立，一般地有类似下面常用的结论：(1)f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max＜a；(2)f(x)＞a 恒成立⇔f(x)min＞a.【例 2】 对任意实数 a(a≠0)和 b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数 x 的取值范围．[精彩点拨] 构造函数 F(a，b)＝，从而转化为|x－1|＋|x－2|≤[F(a，b)]min.[自主解答] 依题意，|x－1|＋|x－2|≤恒成立．故|x－1|＋|x－2|≤min.因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0 时取“＝”，所以 min＝2，因此原不等式等价于|x－1|＋|x－2|≤2.解上述不等式得≤x≤，即所求 x 的取值范围为.2．对一切 x∈R，若|x－a|＋|x＋2|≥7 恒成立，求实数 a 的取值范围．[解] 对 x∈R，|x－a|＋|x＋2|≥|(x＋2)－(x－a)|＝|2＋a|，因此原不等式恒成立，必有|2＋a|≥7.∴2＋a≥7 或 2＋a≤－7，解得 a≥5 或 a≤－9.故实数 a 的取值范围是{a|a≥5 或 a≤－9}.平均值不等式与最值应用平均值不等式求最大(小)值，关键在于“一正、二定、三相等”．也就...