高中数学 专题3.4 基本不等式（讲）（提升版）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案

3.4 基本不等式☆ 学习目标 ☆ ☆ 学习 重点☆ 1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题； 2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式； ☆ 学习 难点☆ 1.会求给定条件的最值问题； 2.能证明一些简单的不等式.☆ 基础回扣☆ 1．基本不等式2baab (1)基本不等式成立的条件：__________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2.基本不等式常用变形： (1) 22ba (a，b∈R)． (2)  abba (a，b 同号)． (3）ab 2)2(ba  (a，b∈R)． (4) 222ba  2)2(ba  (a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数:设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为______，几何平均数 为______，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4.利用基本不等式求最值问题: 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__________时，x＋y 有最小值是______.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值p，那么当且仅当______时，xy 有最大值是______.(简记：和定积最大) 1、baba;0,0；2、,,2,2ab；3、abba,2；4、4,;2,2pyxpyx☆ 问题探讨与解题研究 ☆ 类型一 求含有两个变量的最值问题1 例 1.(1)若 x>-3，则 x+32x的最小值为_______.(2)已知 a，b 为正实数且 a+b=1，则(1+ a1 )(1+ b1 )的最小值为___.【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)将 a1 与 b1 中的 1 用 a+b 代换整理后利用基本不等式可求.【解析】(1)由 x>-3 得 x+3>0,又 x+32x=x+3+32x-3≥22-3，等号成立的条件是 x+3=32x,即 x=2 -3.(2) a>0,b>0,a+b=1,∴1+ a1 =1+aab=2+ ab ,同理 1+ b1 =2+ ba ,∴(1+ a1 )(1+ b1 )=(2+ ab )(2+ ba )=5+2( ab + ba )≥5+4=9,等号成立的条件为 a=b= 21 .【练习】已知 x＞0,y＞0,且 xy=4x+y+12,求 xy 的最小值.【小结】求条件最值的策略 求条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组 合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键；②必须指出等号成立的条件.类型二、利用基本不等式证明简单的不等式例 1、已知 a>0,b>0,a+b=1, 求证：9)11)(11(ba。2练习：(1)证明不等式：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd；(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：(1)a4＋b4＋c4＋d 4≥2a2b2＋2c2d2＝...