高中数学 第1章 常用逻辑用语章末复习课学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

第 1 章 常用逻辑用语[体系构建][自我校对]① 逆否命题 ②必要条件 ③ p⇔q ④ p 且 q ⑤或 ⑥全称命题 ⑦存在量词[题型探究] 四种命题及其相互关系四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题．一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用非 p 和非 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若 p，则 q；逆命题：若 q，则 p；否命题：若非 p，则非 q；逆否命题：若非 q，则非p.原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题． 已知 a，b，c∈R，写出命题“若 ac＜0，则方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．[精彩点拨] 按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假．[规范解答] 逆命题：“若方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则 ac＜0”，是假命题．如当 a＝1，b＝－3，c＝2 时，方程 x2－3x＋2＝0 有两个不等实根 x1＝1，x2＝2，但ac＝2＞0.否命题：“若 ac≥0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题．这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．逆否命题：“若方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题．因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．[再练一题]1．给出下列命题：① 已知 a＝(3,4)，b＝(0，－1)，则 a 在 b 方向上的投影为－4；② 函数 y＝tan 的图象关于点成中心对称；③ 命题“如果 a·b＝0，则 a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题；④ 若 a≠0，则 a·b＝a·c 是 b＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上) 【导学号：71392036】[解析] ① |a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，∴cos〈a，b〉＝－，∴a 在 b 方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝－4，①正确；② 当 x＝时，tan 无意义，由正切函数 y＝tan x 的图象的性质知，②正确；③ 原命题的逆命题为“若 a⊥b，则 a·b＝0”为真，∴其否命题也为真．∴③正确；④ 当 a≠0，b＝c ...