章末小结 [对应学生用书 P47]考情分析矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法．真题体验1．(福建高考)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩阵 A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1.(1)求实数 a，b 的值；(2)求 A2的逆矩阵．解：(1)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 上任一点 P(x，y)在矩阵 A 对应变换下的像是 P′(x′，y′)，则＝ ＝得又点 P′(x′，y′)在 x2＋y2＝1 上，所以 x′2＋y′2＝1，即 a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为 a＞0，所以(2)由(1)知，A＝，A2＝ ＝，所以|A2|＝1，(A2)－1＝.2．(江苏高考)已知矩阵 A＝，向量 β＝.求向量 α，使得 A2α＝β.解：A2＝ ＝.设 α＝.由 A2α＝β，得 ＝，从而解得 x＝－1，y＝2，所以 α＝. 求矩阵、逆矩阵知识整合与阶段检测掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组．[例 1] 求矩阵 A＝的逆矩阵．[解] 设 A－1＝，根据可逆矩阵的定义，则 ＝，即＝，根据矩阵相等得以及解得 a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，所以 A－1＝.[例 2] 设矩阵 A＝，X＝，B＝，试解方程 AX＝B.[解] 由于 A＝，而 det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0，系数矩阵 A 可逆，此时方程组有唯一解，而 A－1＝＝，所以 X＝A－1B＝ ＝＝.即求曲线在平面变换下的方程掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系．[例 3] 二阶矩阵 M1和 M2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图．(1)分别写出一个满足条件的矩阵 M1和 M2；(2)根据(1)的结果，令 M＝M2M1，求直线 x－y－1＝0 在矩阵 M 对应的变换作用下的曲线方程．[解] (1)观察图形可知，M1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原来的的伸缩变换，M2对应的变换为逆时针方向旋转的旋转变换，故 M1＝，M2＝.(2)M＝ ＝，设直线 x－y－1＝0 上任意一点 P(x0，y0)在矩阵 M 对应的变换作用下的对应点 P′(x，y)，则 ＝＝，∴因 x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.故所求曲线方程为 2x＋y－1＝0.[例 4] 设矩阵 M＝(其中 a＞0，b＞0)．(1)若 a＝2，b＝3，求矩阵 M 的逆矩阵 M－1；(2)若曲线 C：x2＋y2＝1 在矩阵 M 所对应的线性变换...
