高中数学 第2章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

§1 变化的快慢与变化率学 习 目 标核 心 素 养1．了解函数的平均变化率和瞬时变化率的定义，会求简单函数的平均变化率．(重点)2．知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，知道变化率是描述函数变化快慢的量．(重点、难点)1．通过变化率是描述函数变化快慢的量的学习，培养了学生直观想象和数学抽象的核心素养.2．借助求简单函数的平均变化率的学习，养成了学生的数学运算的核心素养.1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变量 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.通常我们把自变量的变化 x2－ x 1 称作自变量的改变量，记作 Δ x ，函数值的变化 f ( x 2) － f ( x 1)称作函数值的改变量，记作 Δ y .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当 x0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0变到 x1的过程中，若设 Δx＝x1－x0 ，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝＝.当 Δx 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．(2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数 y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )A．1 B．－1C．2 D．－2B [＝＝＝－1．]2．一质点运动规律是 s＝t2＋3(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，则在 t＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当1Δt 趋于 0 时，趋于 2．]3．一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)从 x1到 x2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数 a.]求函数的平均变化率【例 1】 (1)已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44(2)已知函数 f(x)＝x＋，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．...