高中数学 第2章 变化率与导数 2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1．理解导数的概念及导数的几何意义．(重、难点)2．会求导数及理解导数的实际意义．(重点)3.掌握利用导数求切线方程的方法．(难点)1．通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养.2．通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养.3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.1．函数 f(x)在 x＝x0处的导数函数 y＝f(x)在 x0点的瞬时变化率称为函数 y＝f(x)在 x0点的导数，通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝ ＝lim .2．导数的几何意义函数 y＝f(x)在 x0处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数 y＝f(x)在 x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．1．设函数 y＝f(x)可导，则lim 等于( )A．f′(1)B．3f′(1)C．f′(1) D．以上都不对A [由 f(x)在 x＝1 处的导数的定义知，应选 A.]2．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x－y＋1＝0，则( )A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在A [由切线方程可以看出其斜率是 2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．]3．抛物线 y＝x2＋4 在点(－2,8)处的切线方程为__________．4x＋y＝0 [因为 y′＝lim ＝lim (2x＋Δx)＝2x，所以 k＝－4，故所求切线方程为 4x＋y＝0.]求函数在某点处的导数【例 1】 (1)若lim ＝k，则lim 等于( )A．2kB．kC．k D．以上都不是(2)函数 y＝在 x＝1 处的导数是________．1(3)求函数 f(x)＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数．思路探究：根据导数的概念求解．(1)A (2) [(1)lim ＝2lim ＝2lim ＝2k.(2) Δy＝－1，∴＝＝，当 Δx 趋于 0 时，＝趋于，∴函数 y＝在 x＝1 处的导数为.](3)[解] f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.∴＝＝2Δx＋16.当 Δx 趋于 0 时，＝16，∴f′(3)＝16.1．本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到时，就下结论：当 Δx 趋于 0 时，分子分母的值都趋于 0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤(1)计算 Δy；(2)计算；(3)计算lim.1．若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0的值是( )A．1B．－1 C．±1 D．3C [ Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋...