高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理（2）学案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学学案

1．1 正弦定理(2) 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能． 2.理解三角形面积公式及解斜三角形．3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书 P3])1．三角形中常用的结论(1)A＋B＝π － C ，＝－.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2．三角形面积公式(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示 a，b，c 边上的高)．(2)S＝absin C＝bcsin A ＝ac sin B .1．在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由＝，知 sin C＝1，则 C＝90°，所以 B＝60°，从而 S△ABC＝AB·BC·sin B＝.答案：2．若△ABC 中，cos A＝，cos B＝，则 cos C＝________．解析：由 cos A＝得 sin A＝；由 cos B＝得 sin B＝.所以 cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－＝.答案：3．若△ABC 的面积为，BC＝2，C＝60°，则边 AB 的长度等于________．解析：由于 S△ABC＝，BC＝2，C＝60°，所以＝×2·AC·，所以 AC＝2，所以△ABC 为正三角形，所以 AB＝2.答案：21 三角形面积公式的应用[学生用书 P4] 在△ABC 中，已知 B＝30°，AB＝2，AC＝2.求△ABC 的面积．【解】 由正弦定理，得 sin C＝＝，又 AB·sin B＜AC＜AB，故该三角形有两解：C＝60°或 120°，所以当 C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；当 C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝.所以△ABC 的面积为 2 或. 把本例中的 B＝30°改为 B＝45°，AB＝2 改为 AB＝，其他条件不变，求△ABC的面积．解：由正弦定理＝，得＝，则 sin C＝，又 AC ＞AB，故该三角形有一解，且 C 为锐角，cos C＝，由 sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，则 S△ABC＝AB·AC·sin A＝××2×＝.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角． 1.在△ABC 中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC 的面积 S△ABC等于________．解析：b＝＝＝＋，所以 S△ABC＝absin C＝(＋)×＝＋1.答案：＋1 正弦定理在几何图形中的运用[学生用书 P4] 如图所示，D 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的一点，且 AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0；2(2)若 AC＝DC，求 β 的值．【解】 (1)证明：因为 AB＝AD，所以∠AD...