高中数学 第1章 解三角形 1.1 正弦定理学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案

正弦定理一、考点突破知识点课标要求题型说明正弦定理1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理。2. 能 运 用 正 弦 定 理 解 三 角形。填空题解答题高考常考既可以单独考查正弦定理，也可以与其它知识（如向量、三角函数）综合进行考查。二、重难点提示重点：正弦定理的运用（解三角形，判定三角形的形状，解决实际生活中的问题）。难点：判定三角形解的情况。1. 正弦定理的发现及证明正弦定理时体现的数学思想方法 c b C B A a a a 正弦定理的证明方法较多，但都离不开化斜三角形为直角三角形这一基本思想，同时需要分类讨论。2. 正弦定理的内容及其常见变形内容：（三角形的各边和它所对角的正弦之比相等）。变形：（1）；（2）； （3）其它变形。3. 正弦定理解斜三角形的两种类型（1）AAS、ASA；（2）SSA。4. 已知两边和其中一边的对角，判定三角形的解的情况试一试：分别满足如下条件，试判定解的情况。（1）已知；（2），，；（3）已知。 小结：已知三角形两边和其中一边的对角，求其它边和角时，怎样判断解的个数? （1）求小边所对的角时，有一个解。（2）求大边所对的角时，若所求的正弦值等于 1 时，有一个解；若所求的正弦值小于1 时，有两个解；若所求的正弦值大于 1 时，没有解。此外，三角形的解的情况也可以结合图形进行思考。例 题 1 （ 天 津 高 考 ） 在中 ， A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 是， 已 知8b=5c，C=2B，则 cosC= 。思路分析：两个已知条件需要统一化为边（或角）的关系，一种是均化为边，需要对C=2B 两边同时进行正弦变形，再运用正弦定理求解；另一种思路是均化为角，即 8b=5c 直接运用正弦定理化为，再进行求解。答案：解：因为，所以。根据正弦定理有，又 8b=5c，所以。得，则。另解：8b=5c，由正弦定理得： ，得，从而。例题 2 （江苏高考）在中，已知。（1）求证：；（2）若求 A 的值。思路分析：本题一个题设两个小问，而且第 1 问的结论对于第 2 问显然成立。首先将向量的数量积表示为三角形的边角关系，运用正弦定理将边化为角，第一问可以证出。第2 问的求解，必须解决两个角度的问题，一是角 C 与角 A、B 的关系，二是余弦与正切的关系，进而尝试求特殊角 A 的值。解：（1）证明：因为，所以， 即， 由 正 弦 定 理 得，知同正，故得。（ 2 ） 解 ： 由 得， 则， 结 合 第 （ 1 ） ...