第 1 课时 正弦定理(1)学 习 目 标核 心 素 养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1．正弦定理思考：如图所示，在 Rt△ABC 中，，，各自等于什么？[提示] ＝＝＝c.2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角 A ， B ， C 和它们的对边 a ， b ， c 叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？[提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：① 已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．1．在△ABC 中，若角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，则下列各式一定成立的是( )A．＝ B．＝C．asin B＝bcos AD．acos B＝bsin AB [在△ABC 中，由正弦定理＝，得＝.]12．在△ABC 中，若 A＝60°，B＝45°，BC＝3，则 AC＝________．2 [由正弦定理得：＝，所以 AC＝＝2.]3．在△ABC 中，A＝45°，c＝2，则 AC 边上的高等于_________． [AC 边上的高为 ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝.]4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝，A＝，则 C＝________． [由正弦定理得：＝，所以 sin B＝.又 a>b，所以 A>B，所以 B＝，所以 C＝π－＝.]正弦定理证明【例 1】 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．[证明] 如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，＝sin B.∴CD＝bsin A＝asin B.∴＝.同理，＝.故＝＝.1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证＝，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 都对应 CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．1．如图所示，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明＝2R.[证明] 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，2则圆周角∠A′＝∠A. A′B 为直径，长度为 2R，∴∠A′CB＝90°，∴sin A′＝＝...
