3.2 均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.了解均值不等式的证明过程．2．能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3．熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)1.通过均值不等式的证明过程的学习，体现了学生的逻辑推理的素养．2．借助利用不等式求最值的学习，培养学生的数学运算的素养.1．重要不等式如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)．2．均值不等式≤(1)均值不等式成立的条件：a >0 ， b >0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．3．算术平均值与几何平均值(1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均值为，几何平均值为；(2)均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．4．用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．1．若 x>0，则 x＋的最小值是( )A．2 B．3C．2D．4D [ x>0，∴>0，∴x＋≥2＝4.当且仅当 x＝，即 x＝2 时，等号成立．]2．已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列结论恒成立的是( )A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C．＋>D．＋≥2D [利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式 a2＋b2≥2ab 的使用条件是 a，b∈R.对于 A，当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，所以 A 错误；对于 B，C，虽然 ab>0，只能说明 a，b 同号，当 a，b 都小于 0 时，B，C 错误；对于 D，因为 ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2 恒成立．]3．若 0
0，y>0 且 x＋y＝1，则 xy 的最大值为________． [当 x>0，y>0 时，x＋y≥2，∴xy≤2＝.当且仅当 x＝y＝时，等号成立．]利用均值不等式比较大小【例 1】 (1)已知 m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则 m，n 之间的大小关系是( )A．m>n B．mq [(1) a>2，∴a－2>0.又 m＝a＋＝(a－2)＋＋2，∴m≥2＋2＝4，即m∈[4，＋∞)．由 b≠0 得 b2≠0，∴2－b2<2，∴22－b2<4，即 n<4，∴n∈(0,4)．综上，易得 m>n.(2) a，b，c 互不相等，∴a2＋b...
