高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5-新人教B版高一必修5数学学案

3.2 均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)[基础·初探]教材整理 1 均值不等式阅读教材 P69～P71，完成下列问题.1.重要不等式如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”).2.均值不等式≤(1)均值不等式成立的条件：a >0 ， b >0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立.( )(2)若 a≠0，则 a＋≥2＝4.( )(3)若 a>0，b>0，则 ab≤.( )(4)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的.( )(5)若 ab＝1，a>0，b>0，则 a＋b 的最小值为 2.( )【解析】 (1)×.任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 a＋b≥2 成立.(2)×.只有当 a>0 时，根据均值不等式，才有不等式 a＋≥2＝4 成立.(3)√.因为≤，所以 ab≤.(4)×.因为不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；而≥成立的条件是 a，b 均为非负实数.(5)√.因为 a>0，b>0，所以 a＋b≥2＝2，当且仅当 a＝b＝1 时取等号，故 a＋b 的最小值为 2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√教材整理 2 均值不等式的应用阅读教材 P70例 1～P71例 3，完成下列问题.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( )(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.( )(3)当 x>1 时，函数 f(x)＝x＋≥2，所以函数 f(x)的最小值是 2.( )(4)如果 log3m＋log3n＝4，则 m＋n 的最小值为 9.( )(5)若 x，y∈R＋，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值为.( )【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知.(2)√.因为≤＝＝2，所以 ab≤4.(3)×.因为当 x>1 时，x－1>0，则 f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当 x－1＝，即 x＝2 时，函数 f(x)的取到最小值 3.(4)×.因为由 log3m＋log3n＝4，得 mn＝81 且 m>0，n>0，而≥＝9，所以 m＋n...