高中数学 第1章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学学案

1．3.1 二项式定理 1.了解二项式定理与多项式乘法的联系． 2.理解二项式定理的证明． 3.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．1．二项式定理(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋ C a n － 2 b 2 ＋…＋ C a n － r b r ＋…＋ C b n ( n ∈ N ＋)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有 n＋1 项．(3)二项式系数：各项系数 C(r＝0，1，…，n)叫做展开式的二项式系数．2．二项展开式的通项(1)通项：(a＋b)n的二项展开式中的 C a n － r b r 项叫做二项展开式的通项，通项是展开式的第 r＋1 项，即 Tr＋1＝C a n － r b r (其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)．上面的公式叫做二项展开式的通项公式．(2)二项恒等式：在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，那么得到公式(1＋x)n＝1 ＋ C x ＋ C x 2 ＋…＋ C x r ＋…＋ C x n ．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有 n 项．( )(2)在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响．( )(3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第 r 项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(x－)5的展开式中含 x3项的二项式系数为( )A．－10 B．10C．－5 D．5答案：D3．(1＋2x)5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________．答案：40 10 二项式定理的正用、逆用[学生用书 P12] (1)求(3＋)4的展开式；(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．【解】 (1)法一：(3＋)4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·()2＋C·3·()3＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：(3＋)4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.1运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[注意] 逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b...