空间向量与立体几何[巩固层·知识整合](教师用书独具)[提升层·题型探究]空间向量及其运算【例 1】 (1)在空间四边形 OABC 中，其对角线为 OB，AC，M 是 OA 的中点，G 为△ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示向量MG．(2)已知三点 A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．① 求以 AB，AC 为邻边的平行四边形的面积．② 若|a|＝，且 a 分别与AB，AC垂直，求向量 a 的坐标．[解] (1)如图，连接 AG 并延长交 BC 于点 D．∴D 为 BC 的中点，∴AD＝(AB＋AC)． G 为△ABC 的重心，∴AG＝AD＝(AB＋AC)，又 AB＝OB－OA，AC＝OC－OA，∴AG＝(AB＋AC)＝(－2OA＋OB＋OC)． M 为 OA 的中点，∴AM＝－OA．∴MG＝AG－AM＝(－2OA＋OB＋OC)＋OA＝－OA＋OB＋OC．(2)① 由题意，可得AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，所以 cos〈AB，AC〉＝＝＝＝，所以 sin〈AB，AC〉＝，所以以 AB，AC 为邻边的平行四边形的面积为 S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7．② 设 a＝(x，y，z)，由题意，得，解得或所以向量 a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．1．向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．2．熟记空间向量的坐标运算公式设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝．(4)向量长度：设 M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|M1M2|＝．提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．[跟进训练]1．已知向量AB＝(4,3)，AD＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)．(1)求线段 BD 的中点 M 的坐标；(2)若点 P(2，y)满足PB＝λBD，求 y 与 λ 的值．[解] (1)设 B(x，y)， A(－1，－2)，∴AB＝(x＋1，y＋2)＝(4,3)，∴解得即 B(3,1)，同理可得 D(－4，－3)．∴线段 BD 的中点 M 的坐标为．(2) PB＝(1,1－y)，BD＝(－7，－4)，由PB＝λBD得(1,1－y)＝λ(－7，－4)，∴∴利用空间向量证明平行、垂直问题【例 2】 四棱锥 PABCD 中，PD⊥平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点，求证：(1)PC∥平面 EBD；(2)平面 PBC⊥平面 PCD．[证明] 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC，DA，DP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设 DC＝a，PD＝b，则 D(0,0,0)，C(a,0...
