高中数学 第1章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本 P32～36，思考并完成以下问题1．杨辉三角具有哪些特点？ 2．二项式系数的性质有哪些？ 1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即 C＝C ＋ C.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 C＝C)．(2)增减性与最大值：当 k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当 n 是偶数时，中间一项 Cn取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项 Cn，Cn相等，同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：①C＋C＋C＋…＋C＝2 n ，②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2 n － 1 .1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为 C＋C＋…＋C.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为 32，则 n 等于( )A．5 B．6C．7 D．8答案：A3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是( )A．第＋1 项 B．第 n 项C．第 n＋1 项 D．第 n 项与第 n＋1 项答案：C4．在(a＋b)n的展开式中，第 2 项与第 6 项的二项式系数相等，则 n＝( )A．6 B．7C．8 D．9答案：A与杨辉三角有关的问题[典例] (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外，均能被 5整除，则具有类似性质的行是( )A．第 6 行 B．第 7 行C．第 8 行 D．第 9 行(2)如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461[解析] (1)由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除．(2)由题干图知，数列中的首项是 C，第 2 项是 C，第 3 项是 C，第 4 项是 C，…，第 15项是 C，第 16 项是 C.所以 S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C)＝C＋C－1＝164.[答案] (1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一...