高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量的数量积学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案

3.1.5 空间向量的数量积学习目标：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)1．空间向量的夹角 a，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 叫做向量a 与向量 b 的夹角，记作〈 a ， b 〉 ，〈a，b〉的范围是[0 ， π] ，如果〈a，b〉＝，则称 a 与b 互相垂直，记作 a ⊥ b .2．空间向量的数量积(1)数量积的定义设 a，b 是空间两个非零向量，我们把数量| a || b |·cos 〈 a ， b 〉 叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝| a || b |cos 〈 a ， b 〉 ．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.(2)数量积的性质①cosa，b＝(a，b 是两个非零向量)．②a⊥b⇔a·b＝0(a，b 是两个非零向量)．③|a|2＝a·a＝a2.(3)数量积的运算律①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ ( a·b )( λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b ＋ a·c .3．数量积的坐标表示(1)若 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a·b＝x1x2＋ y 1y2＋ z 1z2.②a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＋ z 1z2＝ 0 (a≠0，b≠0)．③|a|＝＝.④cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．(2)空间两点间距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB＝.[基础自测]1．思考辨析(1)若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( )(2)在△ABC 中，〈AB，BC〉＝∠B. ( )(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )(4)若 a，b 均为非零向量，则 a·b＝|a||b|是 a 与 b 共线的充要条件．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则 a 与 b 的夹角为________．[解析] cos〈a，b〉＝＝＝－，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.[答案] 3．若 a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且 a⊥b，则 x＝______.[解析] a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得 x＝2.[答案] 2求空间向量的数量积 已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为A1D1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC·ED1；(2)BF·AB1.[思路探究] 法一(基向量法)：BC 与 ED1 ， BF 与 AB1 的 夹 角 不 易 求 ， 可 考 虑 用 向 量 AB ， AD ， AA1 表 示 向 量BC，ED1，BF，AB...