3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1 从函数观点看一元二次方程学 习 目 标核 心 素 养1．理解函数零点的概念．(重点)2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点．(重点、难点)通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养．函数与方程有着一定的联系，请尝试完成下列两个表格；并思考它们有着怎样的联系？a>0a<0一次函数y＝ax＋b 的图象一元一次方程y＝ax＋b 的根Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点1．二次函数的零点一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量 x 的值，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与 x 轴的交点的横坐标，也称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．提醒：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量的 x 的值，也是函数相应的方程相异的实数根．2．当 a>0 时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根、二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象、二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系如下表所示：判别式 Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异的实数根 x1,2＝有两个相等的实数根 x1,2＝－没有实数根二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象二次函数 y＝ax2＋bx有两个零点 x1,2＝有一个零点 x ＝－ 无零点＋c (a>0)的零点1．函数 y＝x2＋4x－5 的零点为( )A．－5 和 1 B．(－5,0)和(1,0)C．－5 D．1A [由 x2＋4x－5＝0 得 x1＝－5 或 x2＝1．]2．函数 y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为 ．2 [由 x2＋2ax－a2－1＝0 得 Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2．]3 ． 函 数 y ＝ x2 ＋ 2x － 1 的 零 点 在 区 间 (n ， n ＋ 1)(n∈Z) ， 则 n 的 取 值 集 合 为 ．{－3,0} [由 x2＋2x－1＝0 解得 x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0,1)，所以 n 的取值集合为{－3,0}．] 求函数的零点【例 1】 求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2) y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．(2)对于二次项的系数 a 分 a＝0，a≠0 两类进行讨论，...
