5.1 二项式定理学 习 目 标核 心 素 养1.能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)通过对二项式定理的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C a n ＋ C a n － 1 b ＋…＋ C a n － r b r ＋…＋ C b n ( n ∈ N ＋)叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作(a＋b)n的二项展开式二项式系数各项的系数 C( r ＝ 0,1,2 ，…， n ) 叫作二项式系数二项展开式的通项式中 C a n － r b r 叫作二项展开式的通项在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.思考 1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示] 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指 C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关．思考 2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第 k＋1 项是否相同？[提示] 不同．(a＋b)n展开式中第 k＋1 项为 Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第 k＋1 项为 Cbn－kak.1．(x＋1)n的展开式共有 11 项，则 n 等于( )A．9 B．10 C．11 D．12B [由二项式定理的公式特征可知 n＝10.]2．(y－2x)8展开式中的第 6 项的二项式系数为( )A．C B．C(－2)5 C．C D．C(－2)6C [由题意可知：Tk＋1＝Cy8－k(－2x)k＝C·(－2)kxky8－k，当 k＝5 时，二项式系数为 C.]3.展开式中的常数项为( )A．80 B．－80 C．40 D．－40C [由题意可知：Tr＋1＝C (x2 )5－r＝(－2)rCx10－5r，令 10－5r＝0，得 r＝2，即展开式中的常数项为(－2)2C＝40.]4．(x－2y)7的展开式中的第 4 项为( )A．－280x4y3B．280x4y3C．－35x4y3D．35x4y3A [(x－2y)7的展开式中的第 4 项为T4＝Cx4(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.]1二项式定理的正用和逆用【例 1】 (1)求的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．[解] (1)法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.二项式定理的双向功能1正用：将二项式a＋bn展...
