3．1.3 空间向量基本定理3．1.4 空间向量的坐标表示[学习目标] 1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算．知识点一 空间向量基本定理(1)定理如果三个向量 e1，e2，e3 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 p＝xe1＋ye2＋ze3.(2)基底与基向量如果三个向量 e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量 e1，e2，e3线性表示．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．(4)推论设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC.知识点二 空间向量的坐标表示空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 分别为 x，y，z 轴方向上的单位向量，对于空间任意一个向量 a，若有 a＝xi＋yj＋zk，则有序实数组( x ， y ， z ) 叫向量 a 在空间直角坐标系中的坐标．特别地，若 A(x，y，z)，则向量OA的坐标为( x ， y ， z ) ． 知识点三 坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)；a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)；λa＝( λa 1， λa 2， λa 3) (λ∈R)．a∥b(a≠0)⇔b1＝ λa 1，b2＝ λa 2，b3＝ λa 3 (λ∈R)．思考 (1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？(2)已知 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且 b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？答案 (1)空间向量的坐标运算多 3 个竖坐标．(2)a∥b⇔＝＝.题型一 空间向量的基底例 1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．解 假设OA，OB，OC共面．则存在实 λ，μ 使得OA＝λOB＋μOC，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，∴OA，OB，OC不共面，∴{OA，OB，OC}...
