高中数学 第2章 几个重要的不等式 2.3.2 数学归纳法的应用学案 北师大版选修4-5-北师大版高中选修4-5数学学案VIP专享

3.2 数学归纳法的应用1．会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题．2．了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式．(难点)[基础·初探]教材整理 贝努利不等式定理阅读教材 P38～P39“练习”以上部分，完成下列问题．定理 对任何实数 x≥－1 和任何正整数 n，有(1＋x)n≥1 ＋ nx .在贝努利不等式中当 x＝0 时，n 为大于 1 的自然数，不等式形式将有何变化？【解】 当 x＝0 时，不等式将变成等式，即(1＋x)n＝1＋nx. [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： [小组合作型]贝努利不等式的简单应用 设 b>a>0，n∈N＋，证明：≥(b－a)＋1.【精彩点拨】 由 b>a>0，令 1＋x＝(x>0)，利用贝努利不等式证明．【自主解答】 由 b>a>0，知>1，令 1＋x＝(x>0)，则 x＝－1，由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx，∴＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋n，故≥(b－a)＋1.1利用 1＋x＝代换，为利用贝努利不等式创造条件.[再练一题]1．试证明>1－与>(n∈N＋)．【证明】 由 n∈N＋，∴n＋1≥2.由贝努利不等式，得(1)>1－＝1－.(2)由(1)得>1－，故>＝＝.用数学归纳法证明不等式 试证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．【精彩点拨】 ―→―→【自主解答】 (1)当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；当 n＝2 时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当 n＝3 时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥3 且 k∈N)时，不等式成立．当 n＝k＋1 时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以 2k＋1＋2>(k＋1)2.故当 n＝k＋1 时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何 n∈N＋都成立．通过本例可知，在证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中，针对目标 k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于 k 的取值范围k≥1太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤把验证n＝1 扩大到验证 n＝1，2，3的方法，使假设中 k 的取值范围适当缩小到 k≥3，促使放缩成功，达到目标.[再练一题]2．已知 Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋). 【导学号：94910039】【证明】 (1)当 n＝2 时，S22＝1＋＋＋...